Question

19．已知扇形OAB的周长是60cm，
（Ⅰ）若其面积是20cm²，求扇形OAB的圆心角的弧度数；
（Ⅱ）求扇形OAB的最大面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设圆的半径为rcm，弧长为lcm，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}lr=20}\\{l+2r=60}\end{array}\right.$，可得l，r，然后求解扇形的圆心角．
（Ⅱ）由扇形的周长和面积公式都和半径和弧长有关，故可设出半径和弧长，表示出周长和面积公式，根据基本不等式做出面积的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）设圆的半径为rcm，弧长为lcm，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}lr=20}\\{l+2r=60}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{r=15+\sqrt{205}}\\{l=\frac{40}{15+\sqrt{205}}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{r=15-\sqrt{205}}\\{l=\frac{40}{15-\sqrt{205}}}\end{array}\right.$，
∴圆心角为$\frac{l}{r}$=43-3$\sqrt{205}$，或43+3$\sqrt{205}$，
（Ⅱ）设扇形半径为r，弧长为l，则周长为2r+l=60，面积为s=$\frac{1}{2}$lr，
∵60=2r+l≥2 $\sqrt{2rl}$，
∴rl≤450，
∴s=$\frac{1}{2}$lr≤$\frac{1}{2}$×450=225，可得扇形OAB的最大面积为225cm²．

点评 本题考查扇形的周长和面积公式及利用基本不等式求最值，考查运用所学知识解决问题的能力，本题解题的关键是正确表示出扇形的面积，再利用基本不等式求解，属于基础题．