Question

已知函数在是增函数,在(0,1)为减函数.
（I）求、的表达式；
（II）求证:当时,方程有唯一解；
（Ⅲ）当时,若在∈内恒成立,求的取值范围.

Answer 1

（I）（II）由(1)可知,方程,
设,
令,并由得解知；（III）

解析试题分析：（I）依题意,即,.
∵上式恒成立,∴  ①                 …………………………1分
又,依题意,即,.
∵上式恒成立,∴   ②                …………………………2分
由①②得.                     …………………………3分
∴            …………………………4分
（II）由(1)可知,方程,
设,
令,并由得解知  ………5分
令由                 …………………………6分
列表分析:

	(0,1)	1	(1,+¥)
	-	0	+
	递减	0	递增

知在处有一个最小值0,            …………………………7分
当时,＞0,∴在(0,+¥)上只有一个解.
即当x＞0时,方程有唯一解.   ……………………8分
（III）设, ……9分
在为减函数 又     …………11分
所以：为所求范围.               ………………12分
考点：本题考查了导数的运用
点评：导数的应用是高考的一个重点，利用导数求最值及判断函数的单调性比用定义法要简单的多，要注意利用这个工具