Question

公差不为零的等差数列{a_n}中，a₄=5，且a₃、a₅、a₈ 成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n=

1

an+1an

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知条件，利用等差数列的通项公式和等比数列的性质，列出方程组，求出等差数列的首项和公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）根据数列{a_n}的通项公式，求出b_n=

1

an+1an

，由此利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，d≠0，
∵a₄=5，且a₃、a₅、a₈ 成等比数列，
∴

a1+3d=5 (a1+4d)2=(a1+2d)(a1+7d)

，
∵d≠0，∴解得a₁=2，d=1，
∴a_n=2+（n-1）=n+1．
（2）∵a_n=n+1，
∴b_n=

1

an+1an

=

1

(n+2)(n+1)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴S_n=（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n+1

-

1

n+2

）
=

1

2

-

1

n+2

=

n

2n+4

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．