Question

椭圆C的中心为坐标原点，上焦点（0，c）到直线的距离为，离心率也为，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A，B．
（ I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（ I）  因为点（0，c）到直线的距离为，所以可得，再根据离心率也为，可得，，两式联立，即可求出a，b，c，椭圆C的方程即可求出．
（Ⅱ）先设出直线l的方程，代入（ I）中所求出的椭圆方程中，消y，德关于x的一元二次方程，求两根之和，两根之积，再根据，就可把k²用含m的式子表示，再根据k²的范围，求出m的范围．
解答：解：（ I）设椭圆，设c²=a²-b²
由条件知
∴
故椭圆C的方程为：
（Ⅱ）设l：y=kx+m，联立 ，
消去y 并化简得：（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0，
△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，
因即-x₁=3x₂
消 x₂得3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0∴
整理得 4k²m²+2m²-k²-2=0…（9分）
当时，上式不成立；∴．此时
因∴k≠0∴∴，即或
∴所求m的取值范围为
点评：本题考查了椭圆方程的求法，以及直线与椭圆位置关系的判断，计算量较大，做题时一定要认真．