Question

椭圆C的中心为坐标原点，上焦点（0，c）到直线y=

a2

c

的距离为

2

2

，离心率也为

2

2

，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A，B．
（ I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若

AP

=3

PB

，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（ I）  因为点（0，c）到直线y=

a2

c

的距离为

a2

c

-c，所以可得，

a2

c

-c=

2

2

再根据离心率也为

2

2

，可得，

c

a

=

2

2

，两式联立，即可求出a，b，c，椭圆C的方程即可求出．
（Ⅱ）先设出直线l的方程，代入（ I）中所求出的椭圆方程中，消y，德关于x的一元二次方程，求两根之和，两根之积，再根据

AP

=3

PB

，就可把k²用含m的式子表示，再根据k²的范围，求出m的范围．

解答：解：（ I）设椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，设c²=a²-b²
由条件知

a2

c

-c=

2

2

，

c

a

=

2

2

∴a=1，b=c=

2

2

故椭圆C的方程为：y2+

x2

1 2

=1
（Ⅱ）设l：y=kx+m，联立 

y=kx+m 2x2+y2=1

，
消去y 并化简得：（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0，
△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

-2km

k2+2

，x1x2=

m2-1

k2+2

因

AP

=3

PB

即-x₁=3x₂

x1+x2=-2x2 x1x2=-3 x 2 2

消 x₂得3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0∴3(

-2km

k2+2

)2+4

m2-1

k2+2

=0
整理得 4k²m²+2m²-k²-2=0…（9分）
当m2=

1

4

时，上式不成立；∴m2≠

1

4

．此时k2=

2-2m2

4m2-1

因

AP

=3

PB

∴k≠0∴

2-2m2

4m2-1

＞0∴

1

4

＜m2＜1，即-1＜m＜-

1

2

或

1

2

＜m＜1
∴所求m的取值范围为(-1，-

1

2

)∪(

1

2

，1)

点评：本题考查了椭圆方程的求法，以及直线与椭圆位置关系的判断，计算量较大，做题时一定要认真．