Question

如图，已知正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E是正方形BCC₁B₁的中心，点F，G分别是棱C₁D₁，AA₁的中点．设点E₁，G₁分别是点E，G在平面DCC₁D₁内的射影．

(1)求以E为顶点，以四边形FGAE在平面DCC₁D₁内的射影为底面的棱锥的体积；

(2)求证：直线FG₁⊥平面FEE₁；

(3)求异面直线E₁G₁与EA所成的角的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：根据题意可知，所求体积即为四棱锥E－FG1DE1的体积．因为点E1，G1分别为棱CC1，DD1的中点，所以＝22－×2×1－2××1×1＝2．又因为点E到平面DCC1D1的距离为EE1＝1，故＝×2×1＝． 　　(2)证明：在正方形DCC1D1中，FG1＝FE1＝，G1E1＝2，FG12＋FE12＝G1E12，故FG1⊥FE1．又EE1⊥平面DCC1D1，FG1平面DCC1D1，所以EE1⊥FG1因为FE1∩EE1＝E1，所以FG1⊥平面FEE1． 　　(3)解：因为E1G1∥CD，AB∥CD，所以E1G1∥AB，所以∠EAB即为异面直线E1G1与EA所成的角．因为AB⊥平面BCC1B1，BE平面BCC1B1，所以AB⊥BE．在Rt△ABE中，AB＝2，BE＝，AE＝，所以sin∠EAB＝＝＝．所以异面直线E1G1与EA所成角的正弦值为．