Question

【题目】已知函数， ．　

（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；

（2）是否存在整数， ，使得的解集恰好是，若存在，求出， 的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】试题分析：（1）根据二次函数图像确定对称轴一定在区间外，再根据左右位置对于单调性确定函数值的正负，解不等式可得实数的取值范围；（2）根据对称轴与定义区间位置关系讨论函数值对应关系，消去m得关于a,b关系式，根据整数条件确定有限解，最后验证确定满足条件的解

试题解析：（1）令，则．

当，即时， 恒成立，

所以．

因为在上是减函数，所以，解得，

所以．

由，解得或，

当时， 的图象对称轴，且方程的两根均为正，

此时在为减函数，所以符合条件．

当时， 的图象对称轴，且方程的根一正一负，

要使在单调递减，则，解得．

综上可得，实数的取值范围为．

（2）假设存在整数、，使的解集恰好是，则

①若函数在上单调递增，则， 且，

即

作差得到，代回得到，即，

由于、均为整数，

故， ， 或， ， ，经检验均不满足要求；

②若函数在上单调递减，则， 且，

即

作差得到，代回得到： ，即，

由于、均为整数，

故， ， 或， ， ，经检验均不满足要求；

③若函数在上不单调，则， ，且，

即

作差得到，代回得到，即，由于， 均为整数，

故， ， 或， ， ，经检验均满足要求；

综上：符合要求的整数、是或.