Question

【题目】已知函数，当时，恒有．当时， ．

（Ⅰ）求证： 是奇函数；

（Ⅱ）若，试求在区间上的最值；

（Ⅲ）是否存在，使对于任意恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) ． ；(Ⅲ) .

【解析】试题分析：(1)令x=y=0，求出 f(0)，令y=-x，可以得出f(-x)与f(x)的关系，从而判断出函数的奇偶性；(2)先判断函数的单调性，取值 ，赋值 ，得出，根据，利用已知当时， ．比较出与的大小，得出函数为增函数，求出函数在区间上的最值；（3）根据函数为奇函数且为增函数，转化不等式，利用换元法简化不等式，利用极值原理求出m 的范围.

试题解析：

（Ⅰ）令，则，

∴．令，则，

∴，即为奇函数；

（Ⅱ）任取，且，

∵，∴，

∵当时， ，且，∴，即，

∴为增函数，

∴当时，函数有最小值， ．

当时，函数有最大值， ；

（Ⅲ）∵函数为奇函数，

∴不等式

可化为，

又∵为增函数，∴，

令，则，

问题转化为在上恒成立，

即对任意恒成立，

令，只需，

而，

∴当时， ，则．

∴的取值范围是．