Question

知函数f（x）的图象与函数h(x)=x+

1

x

+2的图象关于点A（0，1）对称．
（1）求函数f（x）的解析式，并写出定义域、值域．
（2）若g（x）=f（x）+

a

x

，且g（x）在区间（0，2]上的值不小于6，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）设f（x）图象上任一点坐标为（x，y），
点（x，y）关于点A（0，1）的对称点（-x，2-y）在h（x）的图象上（3分）
∴2-y=-x+

1

-x

+2，
∴y=x+

1

x

，即f(x)=x+

1

x

（6分）
f（x）的定义域为：{x|x≠0），值域为：{x|x≤0或x≥4}
（2）由题意  g(x)=x+

a+1

x

，且g(x)=x+

a+1

x

≥6
∵x∈（0，2]
∴a+1≥x（6-x），即a≥-x²+6x-1，（9分）
令q（x）=-x²+6x-1，x∈（0，2]，q（x）=-x²+6x-1=-（x-3）²+8，
∴x∈（0，2]时，q（x）_max=7（11分）
∴a≥7（13分）
方法二：q′（x）=-2x+6，x∈（0，2]时，q′（x）＞0
即q（x）在（0，2]上递增，
∴x∈（0，2]时，q（x）_max=7
即  a≥x²-1在x∈（0，2]时恒成立．
∵x∈（0，2]时，（x²-1）_max=3
∴a≥3
∴a≥7