Question

设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且（2b-

3

c）cosA=

3

acosC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若角B=

π

6

，BC边上的中线AM的长为

7

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理把(2b-

3

c)cosA=

3

acosC中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式进行化简整理求得cosA，进而求得A．
（2）由（1）知A=B=

π

6

，进而可知三角形为等腰三角形和C的值，设AC=x，进而用余弦定理建立等式求得x，进而用三角形面积公式求得答案．

解答：解：（1）因为(2b-

3

c)cosA=

3

acosC，
所以(2sinB-

3

sinC)cosA=

3

sinAcosC2sinBcosA=

3

sinAcosC+

3

sinCcosA2sinBcosA=

3

sin(A+C)，
则2sinBcosA=

3

sinB，
所以cosA=

3

2

，于是A=

π

6

（2）由（1）知A=

π

6

而B=

π

6

，
所以AC=BC，C=

2π

3

设AC=x，则MC=

1

2

x
又AM=

7

．
在△AMC中由余弦定理得AC²+MC²-2AC•MCcosC=AM²，
即x2+(

x

2

)2-2x•

x

2

•cos120°=(

7

)2，
解得x=2，
故S△ABC=

1

2

x2sin

2π

3

=

3

．

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形问题中，常需要用正弦定理和余弦定理完成边角互化，来解决问题．