Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是AC的中点，，则异面直线AB₁与C₁D所成角的余弦值为（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：连接B₁C，取B₁C中点E，连接C₁E、DE．设AD=DC=1，则Rt△C₁DC中利用60°角的三角函数，可算出CC₁=，C₁D=2，再用勾股定理算出AB₁=B₁C=，从而得出在△C₁DE中，DE=C₁E=，由余弦定理得cos∠C₁DE=，最后由异面直线所成角的定义得到异面直线AB₁与C₁D所成角的余弦值．
解答：解：连接B₁C，取B₁C中点E，连接C₁E、DE
设AD=DC=1，则Rt△C₁DC中，tan=
∴CC₁=CD=，C₁D=2
矩形BCC₁B₁中，=，可得C₁E=
又∵△AB₁C中，AB₁=B₁C=，DE是中位线
∴DE=AB₁=
因此，在△C₁DE中，由余弦定理得：cos∠C₁DE==
∵DE∥AB₁，
∴锐角∠C₁DE就是直线AB₁与C₁D所成的角，可得异面直线AB₁与C₁D与所成角的余弦值为
故选B
点评：本题在正三棱柱中求异面直线所成的角，着重考查了正棱柱的性质、异面直线所成的定义和余弦定理等知识，属于中档题．