Question

在平面α内有△ABC，在平面α外有点S，斜线SA⊥AC，SB⊥BC，且斜线SA、SB与平面α所成角相等．
（1）求证：AC=BC
（2）又设点S到α的距离为4cm，AC⊥BC且AB=6cm，求S与AB的距离．

Answer 1

分析：（1）过S作SO⊥面ABC于O，根据线面垂直的性质可得AC⊥AO，BC⊥BO，而AO=BO，OC=OC，则△AOC≌△BOC，从而可得结论；
（2）先证四边形ABCD是正方形，然后求出点O到AB的距离，从而可求出S到AB的距离．

解答：（1）证明：过S作SO⊥面ABC于O，斜线SA、SB与平面α所成角相等
则∠SBO=∠SAO
∴AO=BO
∵SA⊥AC，SO⊥AC，SA∩SO=S
∴AC⊥面SAO，AO?面SAO
∴AC⊥AO，同理可证 BC⊥BO
而OC=OC
∴△AOC≌△BOC
∴AC=BC
（2）∵AC=BC，AC⊥AO，BC⊥BO
∴四边形ABCD是正方形
∴OC=AB=6
即点O到AB的距离为3
∴S到AB的距离为

42+32

=5cm．

点评：本题主要考查了点、线距离的度量，以及线面垂直的判定和性质，同时考查了推理论证的能力，属于中档题．