Question

【题目】四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，BC⊥CD，PD=1，AB= ，BC=CD= ，AD=1．
（1）求异面直线AB、PC所成角的余弦值；
（2）点E是线段AB的中点，求二面角E﹣PC﹣D的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C点作平面ABCD的垂线为z轴，

建立空间直角坐标系，

A（ ， ，0），B（0， ，0），C（0，0，0），

P（ ,0,1），

=（﹣ ，0，0）， =（﹣ ,0,-1），

设异面直线AB、PC所成角为θ，

则cosθ= = = ，

∴异面直线AB、PC所成角的余弦值为

（2）解：E（ ， ，0）， =（ ， ，0）， =（ ,0,1）， =（0， ,0），

设平面PCE的法向量 =（x，y，z），

则 ，取x= ，得 ，

设平面PCB的法向量 =（a，b，c），

则 ，取a= ，得 =（ ,0,-2），

设二面角E﹣PC﹣D的大小为θ，

则cosθ= = = ．

θ=arccos ．

∴二面角E﹣PC﹣D的大小为arccos ．

【解析】（1）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C点作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB、PC所成角的余弦值．（2）求出平面PCE的法向量和平面PCB的法向量，利用向量法能求出二面角E﹣PC﹣D的大小．
【考点精析】掌握异面直线及其所成的角是解答本题的根本，需要知道异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系．