Question

(13分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足（如图所示）．

（Ⅰ）求得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
（Ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则 （1）…1分
∵OA⊥OB ∴,即，(2)…………3分
又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得…4分
∴
所以重心为G的轨迹方程为……………………………………6分
（II）
由（I）得……11分
当且仅当即时，等号成立。………………………12分
所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1； …………………13分

略