Question

已知矩阵M=

2 a 2 1

，其中a∈R，若点P（1，-2）在矩阵M的变换下得到点P'（-4，0）
（1）求实数a的值；
（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．

Answer 1

分析：（1）点P（1，-2）在矩阵M的变换下得到点P'（-4，0），利用二阶矩阵与平面列向量的乘法可求实数a的值；
（2）先求矩阵M的特征多项式f（λ），令f（λ）=0，从而可得矩阵M的特征值，进而可求特征向量．

解答：解：（1）由

2 a 2 1

1 -2

=

-4 0

，∴2-2a=-4⇒a=3．
（2）由（1）知M=

2 3 2 1

，则矩阵M的特征多项式为f(λ)=

.

λ-2 -3 -2 λ-1

.

=(λ-2)(λ-1)-6=λ2-3λ-4
令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为-1与4．
当λ=-1时，

(λ-2)x-3y=0 -2x+(λ-1)y=0

⇒x+y=0
∴矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为

1 -1

；
当λ=4时，

(λ-2)x-3y=0 -2x+(λ-1)y=0

⇒2x-3y=0
∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为

3 2

．

点评：本题主要考查二阶矩阵与平面列向量的乘法，考查矩阵M的特征值及其对应的特征向量． 关键是写出特征多项式，从而求得特征值．