Question

17．已知集合A={x|x²-3x+2≤0}，函数f（x）=x²-2ax+1．
（1）当a≠0时，解关于x的不等式f（x）≤3a²+1；
（2）对任意x∈A，均有f（x）＞0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a≠0时，解关于x的不等式f（x）≤3a²+1可化为x²-2ax-3a²≤0，解不等式可得答案；
（2）对任意x∈A，均有f（x）＞0，则即$2a＜\frac{{{x^2}+1}}{x}=x+\frac{1}{x}$，利用基本不等式，进而可得实数a的取值范围．

解答 解：（1）不等式f（x）≤3a²+1整理得x²-2ax-3a²≤0，即（x+a）（x-3a）≤0，
若a＞0，则解集为[-a，3a]，
若a＜0，则解集为[3a，-a]．              
（2）A={x|1≤x≤2}，
对任意的x∈[1，2]，均有x²-2ax+1＞0成立，
即$2a＜\frac{{{x^2}+1}}{x}=x+\frac{1}{x}$，
只需$2a＜{（x+\frac{1}{x}）_{min}}$，
当x=1时，${（x+\frac{1}{x}）_{min}}=2$，
所以2a＜2，即a＜1．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，解二次不等式，恒成立问题，难度不大，属于基础题．