Question

【题目】已知椭圆的离心率为，且经过点，一条直线与椭圆C交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求证：为定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析．

【解析】

（1）因为椭圆经过点，所以，再根据离心率，即可求得椭圆的方程；

（2）①若直线的斜率存在时，，，，与椭圆方程联立，由可得，从而得到的关系，结合点到直线的距离公式，可证明结论；②若直线的斜率不存在，则有，可证结论也成立.

（1）因为椭圆经过点，所以，

又因为，则，由，得，

所以椭圆的标准方程为．

（2）①若直线的斜率存在时，设，与椭圆方程联立得：

，有，

由题意，，设，，

所以，．

因为以为直径的圆过原点，

由，得 ，

即，整理得，

，

而

设h为到的距离，则

所以，

而，

所以．

②若直线的斜率不存在，则有，

不妨设，设，有，

代入椭圆方程得，，

，

即，

综上．