Question

【题目】如图，在几何体中，四边形是菱形，，平面平面，.

（1）求证：；

（2）若，，求三棱锥和三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）1,1

【解析】

（1）连接，与交于点，连接易知，，由线面垂直的判定定理可得平面，从而可证明；

（2）由面面垂直的性质可知，平面，即 为三棱锥的高，结合菱形、等边三角形的性质，可求出，从而可求三棱锥的体积；由平面，可知点到平面的距离也为，由菱形的性质可知，从而可求出三棱锥的体积.

（1）证明:如图，连接，与交于点，则为的中点，连接，

由四边形是菱形可得，因为，所以，

因为，所以平面，因为平面，所以.

（2）因为平面平面，平面平面，且，

所以平面，即 为三棱锥的高.

由，四边形是菱形，且，

可得与都是边长为2的等边三角形，所以，

因为的面积，故.

因为， 平面， 平面，所以平面，

故点到平面的距离也为，由四边形是菱形得

因此.