题目内容
【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4-1:几何证明选讲
如图,
是⊙O的直径,弦
、
的延长线相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F.求证:
(1)
;
(2)
.
B.选修4-2:矩阵与变换
求曲线
在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程,其中
,
.
C.选修4-4:坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的单位长度.已知直线l的极坐标方程为
,曲线C的参数方程为
,又直线l与曲线C交于A,B两点,求线段AB的长.
D.选修4-5:不等式选讲
若存在实数
使
成立,求常数
的取值范围.
【选做题】
A.选修:几何证明选讲
证明:(1)连结
.
因为
为圆的直径,所以
.
又
⊥
,
,
则
、
、
、
四点共圆,
∴
.……………………………5分
(2)由(1)知,
.
连结
,显然
∽
,
∴
,即
,
∴
.…………………………10分
B.选修:矩阵与变换
解:MN=![]()
=
,
……………………………………4分
设
是曲线
上任意一点,点
在矩阵MN对应的变换下变为点
,
则有
于是
,
.
……………………………………8分
代入
得
,
所以曲线
在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为
.……………10分
C.选修:坐标系与参数方程
解:直线l的直角坐标方程为
,曲线C的普通方程为
,
…………………6分
两者联立解得A和B的坐标为
和
, ………………………………………8分
∴
……………………………………10分
D.选修:不等式选讲
解:
, …………………………………2分
由柯西不等式得
,………………………8分
所以
,当且仅当
时取“=”,
于是,常数
的取值范围是
………………………………………………………………10分