题目内容

 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.选修4-1:几何证明选讲

 

如图,是⊙O的直径,弦、的延长线相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F.求证:

(1);

(2).

 

 

 

 

 

B.选修4-2:矩阵与变换

 

求曲线在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程,其中,.

 

C.选修4-4:坐标系与参数方程

 

以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的单位长度.已知直线l的极坐标方程为,曲线C的参数方程为,又直线l与曲线C交于A,B两点,求线段AB的长.

 

D.选修4-5:不等式选讲

 

若存在实数使成立,求常数的取值范围.

 

 

【答案】

 【选做题】

A.选修:几何证明选讲

证明:(1)连结.

因为为圆的直径,所以.

又⊥,,

则、、、四点共圆,

∴.……………………………5分

(2)由(1)知,.

连结,显然∽,

∴,即,                

∴.…………………………10分

B.选修:矩阵与变换

解:MN==,                   ……………………………………4分

设是曲线上任意一点,点在矩阵MN对应的变换下变为点,

则有              

于是,.                               ……………………………………8分

代入得,

所以曲线在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为.……………10分

C.选修:坐标系与参数方程

解:直线l的直角坐标方程为,曲线C的普通方程为, …………………6分

两者联立解得A和B的坐标为和,  ………………………………………8分

∴                      ……………………………………10分

D.选修:不等式选讲

解:,          …………………………………2分

由柯西不等式得,………………………8分

所以,当且仅当时取“=”,

于是,常数的取值范围是    ………………………………………………………………10分

 

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