Question

函数f(x)=ax-

1

x

(x＞0，a＞0且a≠1），存在实数m＜n使不等式f（x）＞0的解集为（m，n），则a的取值范围是

（e

-lnm

m

，1）∪（1，+∞）

．

Answer 1

分析：已知要使f（x）＞0在（m，n）上恒成立，需要对a进行讨论；a＞1或者a＜1，然后利用不等式进行求解；

解答：解：已知函数f(x)=ax-

1

x

(x＞0，a＞0且a≠1），存在实数m＜n使不等式f（x）＞0
①若0＜a＜1，要使f(x)=ax-

1

x

＞0，则a^x＞

1

x

，
令h（x）=a^x，g（x）=

1

x

，有交点，存在x=t，使at=

1

t

，当x＞t时，ax＞

1

x

，此时m＞t，
可得a^m＞

1

m

，解得a＞e

-lnm

m

，
∴e

-lnm

m

＜a＜1；
②若a＞1，则a＞e

-lnm

m

也成立，
则同样有ax＞

1

x

，
∴a的取值范围为：（e

-lnm

m

，1）∪（1，+∞），
故答案为：（e

-lnm

m

，1）∪（1，+∞）；

点评：此题主要考查函数的单调性及其应用，还考查了分类讨论的思想，这是高考每年必考的考点，学生一定要掌握．