Question

已知函数f(x)=

ax-1

x+1

，  其中 a∈R．
（1）当a=1时，求函数满足f（x）≤1时的x的集合；
（2）求a的取值范围，使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，f（x）≤1?

x-1

x+1

≤1，解这个分式不等式即可
（2）依据减函数的定义，对（0，+∞）上的任意x₁，x₂，当x₂＞x₁时，总有f（x₂）＜f（x₁），则f（x）就为（0，+∞）上的单调减函数，由f(x2)-f(x1)=

ax2-1

x2+1

-

ax1-1

x1-1

恒小于零，即可得a的取值范围

解答：解：（1）当a=1时，f（x）≤1⇒

x-1

x+1

≤1⇒x＞-1，
故满足条件的集合为{x|x＞-1}．
（2）在区间（0，+∞）上任取x₁，x₂，
则f(x2)-f(x1)=

ax2-1

x2+1

-

ax1-1

x1-1

=

(a+1)(x2-x1)

(x2+1)(x1+1)

，
因x₂＞x₁故x₂-x₁＞0，又在（0，+∞）上x₂+1＞0，x₁+1＞0，
∴只有当a+1＜0时，即a＜-1时，才总有f（x₂）-f（x₁）＜0．
∴当a＜-1时，f（x）在（0，+∞）上是单调减函数．

点评：本题考查了简单分式不等式的解法，单调性的定义及运用，解题时要有较强的代数变换能力，能熟记定义，并熟练应用