Question

函数f(x)=

ax+2b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(1)=

1

2

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）解不等式f(2-t)+f(

t

5

)＜0．

Answer 1

分析：（1）由f（x）为奇函数，得到f（0）=0，代入求出b的值，再由f（1）=

1

2

，求出a的值，即可确定出f（x）解析式；
（2）任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，判断f（x₁）-f（x₂）的正负即可确定出函数的增减性；
（3）所求不等式移项后利用奇函数的性质变形，再利用函数f（x）为增函数，利用增函数的性质及自变量的范围列出关于t的不等式，求出不等式的解集即可．

解答：解：（1）∵f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，
∴f（0）=0，
∴b=0，
∴f（x）=

ax

1+x2

，x∈（-1，1），
∵f（1）=

1

2

，
∴a=1，
则f（x）=

x

1+x2

，x∈（-1，1）；
（2）任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

x1(1+x22)-x2(1+x12)

(1+x12)

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

，
由x₁＜x₂，得x₁-x₂＜0，
由x₁，x₂∈（-1，1），得x₁x₂∈（-1，1），即1-x₁x₂＞0，
∵1+x₁²≥1，1+x₂²≥1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
则函数f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）∵f（x）在（-1，1）上是奇函数，
∴f（2-t）=-f（t-2），
∴f（

t

5

）＜f（t-2），
又f（x）在（-1，1）上是增函数，
∴

t 5 ＜t-2 -1＜t-2＜1 -1＜ t 5 ＜1

，
解得：

t＞ 5 2 1＜t＜3 -5＜t＜5

，
则不等式的解集为（

5

2

，3）．

点评：此题考查了其他不等式的解法，函数解析式求解及常用方法，函数的奇偶性，以及函数单调性的判断及证明，熟练掌握奇函数的性质是解本题的关键．