Question

（2012•珠海一模）矩形ABCD中，2AB=AD=4，E是AD中点，沿BE将△ABE折起到△A′BE的位置，使A′C=A′D，F、G分别是BE、CD中点．
（1）求证：A′F⊥CD；
（2）几何体A′-BCDE的体积．

Answer 1

分析：（1）利用线面垂直的性质：先证明CD⊥FG，CD⊥A′G，从而可证明CD⊥平面A′FG，由此可得A′F⊥CD；
（2）利用锥体的体积公式求：在△A′EF中，用勾股定理可得A′F，由梯形面积公式可得S_{四边形BCDE}，从而有锥体的体积公式可得答案；

解答：证明：（1）因为F、G分别是BE、CD的中点，所以FG∥BC，所以FG⊥CD，
因为A′C=A′D，所以A′G⊥CD，
又FG∩A′G=G，所以CD⊥平面A′GF，
所以CD⊥A′F．
（2）由（1）知CD⊥A′F，
又A′E=A′B，F为BE中点，所以A′F⊥BE，
所以A′F⊥平面BCDE，
A′E=2，EF=

1

2

EB=

2

，所以A′F=

22-( 2 )2

=

2

，
所以几何体A′-BCDE的体积VA-BCDE=

1

3

A′F•S四边形BCDE=

1

3

•

2

•

2+4

2

•2=2

2

．

点评：本题考查线面垂直的判定、性质，考查锥体的体积公式，考查学生的逻辑推理能力，属中档题．