Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=2，Sn-4Sn-1-2=0（n≥2，n∈Z）．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）令bn=log2an，Tn为{bn}的前n项和，求证 ＜2．

Answer 1

【答案】（1）an=22n-1．（2）见解析

【解析】试题分析：（I）利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出．

（II）利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可得出．

试题解析：

（Ⅰ）当n≥3时，可得Sn-4Sn-1-2-（Sn-1-4Sn-2-2）=0（n≥2，n∈Z）．∴an=4an-1，

又因为a1=2，代入表达式可得a2=8，满足上式．

所以数列{an}是首项为a1=2，公比为4的等比数列，故：an=2×4n-1=22n-1．

（Ⅱ）证明：bn=log2an=2n-1．

Tn==n2．

n≥2时，=＜=． ≤1++…+=2-＜2．