Question

【题目】已知函数

（1）若是的极值点，求的极大值；

（2）求实数的范围，使得恒成立.

Answer 1

【答案】（1）的极大值为；（2）时，恒成立.

【解析】试题分析：（1）由于x=2是f（x）的极值点，则f′（3）=0求出a，进而求出f′（x）＞0得到函数的增区间，求出f′（x）＜0得到函数的减区间，即可得到函数的极大值；

（2）由于f（x）≥1恒成立，即x＞0时，x2﹣（a+1）x+alnx≥0恒成立，设g（x）=x2﹣（a+1）x+alnx，求出函数的导数，分类讨论参数a，得到函数g（x）的最小值≥0，即可得到a的范围．

（1）

是的极值点，解得

当时，

当变化时，

的极大值为

（2）要使得恒成立，即时，恒成立，

设，则，

（ⅰ）当时，由得函数单调减区间为，由得函数单调增区间为，此时，得

（ⅱ）当时，由得函数单调减区间为，由得函数单调增区间为，此时不合题意.

（ⅲ）当时，在上单调递增，此时不合题意

（ⅳ）当时，由得函数单调减区间为，由得函数单调增区间为，此时不合题意.

综上所述：时，恒成立.