题目内容
用单调函数的定义求函数f(x)=x3-3x的单调区间.
思路解析:紧扣单调函数的定义是研究函数单调性的重要方法. 解:任取x1,x2∈R,且-∞＜x1＜x2＜+∞, f(x1)-f(x2)=(x13-3x1)-(x23-3x2)=(x13-x23)-3(x1-x2)=(x1-x2)［(x22+x1x2+x12)-3］. ∵ x1＜x2,∴x1-x2＜0.令x1=x2=t,则x22+x1x2+x12-3=3t2-3=0. ∴t=-1,1. ①在区间(-∞,-1)上,x22+x1x2+x12＞3,∴ x22+x1x2+x12-3＞0. ∴f(x1)＜f(x2).∴函数f(x)=x3-3x在区间(-∞,-1)上是增函数； ②在区间(-1,-1)上,x22+x1x2+x12＜3,∴ x22+x1x2+x12-3＜0. ∴f(x1)＞f(x2).∴函数f(x)=x3-3x在区间(-1,1)上是减函数； ③在区间(1,+∞)上,x22+x1x2+x12＞3,∴ x22+x1x2+x12-3＞0. ∴f(x1)＜f(x2).∴函数f(x)=x3-3x2-9x在区间(1,+∞)上是增函数. 深化升华 利用函数的单调性的定义可以研究函数的单调区间.求单调区间的关键是找到增、减变化的分界点.在“作差”“变形”后,一部分的符号已经确定,而一部分的符号不确定,分析这一部分的符号变化就可以找到增、减分界点,而x1,x2是定义域上任意取的,在此可以认为x1,x2无限接近于某个值,再令这部分等于零即可求得增、减分界点.
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在x=1处的导数。
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