题目内容
探究函数f（x）=2x+
-3在区间（0，+∞）上的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：
（1）观察表中y值随x值变化趋势的特点，请你直接写出函数f（x）=2x+
-3在区间（0，+∞）上的单调区间，并指出f（x）的最小值及此时x的值．
（2）用单调性的定义证明函数f（x）=2x+
-3在区间（0，2]上的单调性；
（3）设函数f（x）=2x+
-3在区间（0，a]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式．
| 8 |
| x |
| x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
| y | … | 14 | 7 | 5.33 | 5.11 | 5.01 | 5 | 5.01 | 5.04 | 5.08 | 5.67 | 7 | 8.6 | 12.14 | … |
| 8 |
| x |
（2）用单调性的定义证明函数f（x）=2x+
| 8 |
| x |
（3）设函数f（x）=2x+
| 8 |
| x |
分析：（1）由表中可知f（x）在（0，2]为减函数，[2，+∞）为增函数，并且当x=2时，f（x）取得最小值．
（2）证明：设0＜x1＜x2≤2，计算f（x1）-f（x2）=
＞0，可得f（x）在（0，2]为减函数．
（3）由函数f（x）在区间（0，2]上单调递减，在区间[2，+∞）上单调递增，分①当0＜a＜2时、②当a≥2时，两种情况分别求得f（x）min，从而得出结论
（2）证明：设0＜x1＜x2≤2，计算f（x1）-f（x2）=
| 2(x1-x2)(x1x2-4) |
| x1x2 |
（3）由函数f（x）在区间（0，2]上单调递减，在区间[2，+∞）上单调递增，分①当0＜a＜2时、②当a≥2时，两种情况分别求得f（x）min，从而得出结论
解答：解：（1）由表中可知f（x）在（0，2]为减函数，
[2，+∞）为增函数，并且当x=2时，f（x）min=5．
（2）证明：设0＜x1＜x2≤2，
因为f（x1）-f（x2）=2x1+
-3-（2x2+
-3）=2（x1-x2）+
=
，
因为0＜x1＜x2≤2，所以x1-x2＜0，0＜x1x2＜4，即x1x2-4＜0，
所以f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（0，2]为减函数．
（3）由（2）可证：函数f（x）=2x+
-3在区间（0，2]上单调递减，在区间[2，+∞）上单调递增．
则①当0＜a＜2时，（0，a]⊆（0，2]，所以函数f（x）=2x+
-3在区间（0，a]上单调递减，
故f（x）min=f（a）=2a+
-3．
②当a≥2时，函数f（x）=2x+
-3在区间（0，2]上单调递减，[2，a]上单调递增，
故f（x）min=f（2）=5．
综上所述，函数f（x）=2x+
-3在区间（0，a]上的最小值为 g（a）=
．
[2，+∞）为增函数，并且当x=2时，f（x）min=5．
（2）证明：设0＜x1＜x2≤2，
因为f（x1）-f（x2）=2x1+
| 8 |
| x1 |
| 8 |
| x2 |
| 8(x2-x1) |
| x1x2 |
| 2(x1-x2)(x1x2-4) |
| x1x2 |
因为0＜x1＜x2≤2，所以x1-x2＜0，0＜x1x2＜4，即x1x2-4＜0，
所以f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（0，2]为减函数．
（3）由（2）可证：函数f（x）=2x+
| 8 |
| x |
则①当0＜a＜2时，（0，a]⊆（0，2]，所以函数f（x）=2x+
| 8 |
| x |
故f（x）min=f（a）=2a+
| 8 |
| a |
②当a≥2时，函数f（x）=2x+
| 8 |
| x |
故f（x）min=f（2）=5．
综上所述，函数f（x）=2x+
| 8 |
| x |
|
点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，利用函数的单调性求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
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