Question

已知函数，它在原点处的切线恰为x轴．
（1）求f（x）的解析式；
（2）证明：当x＞0时，f（x）＞0；
（3）证明：．

Answer 1

解：（1）由题意得，
f′（x）=-，
由于函数在原点处的切线恰为x轴．
∴f′（0）=0，即1-=0，
∴a=2．
∴f（x）的解析式f（x）=ln（1+x）-，
（2）当x≥0时，f′（x）=，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（0）=0，
∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0，
即当x＞0时，f（x）＞0．
（3）由（2）知，当x＞0时，ln（1+x）＞，
∴ln2＞，ln3＞，ln4＞，…，lnn＞，（n≥2），
以上各式相乘，得，
从而结论成立．
分析：（1）先根据题意求出函数的导数f′（x），再利用导数的几何意义得f′（0）=0，从而求出a值，最后写出f（x）的解析式；
（2）当x≥0时，f′（x）=，利用导数与单调性的关系得f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（0）=0，即可证得结论；
（3）由（2）知，当x＞0时，ln（1+x）＞，分别令x=1，2，3，…，n．得到n个不等关系，再将以上各式相乘即得．
点评：本小题主要考查导数的几何意义、函数单调性的应用、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．