Question

已知函数f（x）=alnx，g（x）=-x²+（a+2）x+1．
（1）若直线y=2x与曲线y=f（x）相切，求实数a的值；
（2）若f（x）≥g（x）对一切实数x∈[1，e]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）先求出切点坐标，再代入f（x）=alnx，即可求实数a的值；
（2）f（x）≥g（x），即alnx≥-x²+（a+2）x+1．也即a（x-lnx）≤x²-2x-1，此式对一切实数x∈[1，e]恒成立．进一步转化为a ≤ 

x2-2x-1

x-lnx

，此式对一切实数x∈[1，e]恒成立，求最值即可．

解答： 解：（1）设切点为（x₀，y₀），
∵f（x）=alnx，∴f′（x）=

a

x

，
∴切线方程为y-alnx₀=

a

x0

（x-x₀）．                …2分
∵切线y=2x过原点，∴-alnx₀=-a．
则x₀=e，y₀=2e．即切点为（e，2e）．               …4分
代入y=f（x），得a=2e．              …6分
（2）f（x）≥g（x），即alnx≥-x²+（a+2）x+1．
也即a（x-lnx）≤x²-2x-1，此式对一切实数x∈[1，e]恒成立．
设h（x）=x-lnx，∵h′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

＞0在x∈[1，e]恒成立．
∴h（x）=x-lnx在[1，e]上是增函数，h（x）≥h（1）=1．   …8分
∴a ≤ 

x2-2x-1

x-lnx

，此式对一切实数x∈[1，e]恒成立．   …10分
设u(x)=

x2-2x-1

x-lnx

，
则u′(x)=

(2x-2)(x-lnx)-(x2-2x-1)(1- 1 x )

(x-lnx)2

=

(x-1)(x2-2xlnx+2x+1)

x(x-lnx)2

．   …13分
当x∈（1，e）时，-2xlnx+2x=2x（1-lnx）＞0．则u'（x）＞0．
而u（x）在[1，e]是图象不间断，∴u（x）的最小值为u（1）=-2．
∴a≤-2．                                      …16分．

点评：本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，正确分离参数求最值是关键．