题目内容

已知：在数列{a_n}中，a₁= $数学公式$ ，a_n+1= $数学公式$ a_n+ $数学公式$ ．
（1）令b_n=4ⁿa_n，求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）若S_n为数列{a_n}的前n项的和，S_n+λna_n≥ $数学公式$ 对任意n∈N^*恒成立，求实数λ的最小值．

解：（1）由a_n+1= $\text{[math]}$ a_n+ $\text{[math]}$ ，
得4ⁿ⁺¹a_n+1=4ⁿa_n+2．
所以b_n+1=b_n+2，即b_n+1-b_n=2．
故数列{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）因为数列{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列，
所以b_n=1+2（n-1）=2n-1．
因为b_n=4ⁿa_n，
所以a_n= $\text{[math]}$ ．
则S_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ．
又 $\text{[math]}$ S_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ．
所以 $\text{[math]}$ S_n= $\text{[math]}$ +2（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ +2× $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ．
所以S_n= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ．
因为S_n+λna_n≥ $\text{[math]}$ 对任意n∈N^*恒成立，
所以 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ +λ× $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ 对任意n∈N^*恒成立．
即λ≥ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 对任意n∈N^*恒成立
因为n≥1，2n-1≥1，
所以 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，当且仅当n=1时取等号．
又因为 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，当且仅当n=1时取等号．
所以 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，当且仅当n=1时取等号
所以λ≥ $\text{[math]}$ ，所以λ的最小值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由题设条件知4ⁿ⁺¹a_n+1=4ⁿa_n+2．所以b_n+1=b_n+2，所以数列{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由题设条件知b_n=1+2（n-1）=2n-1．再由b_n=4ⁿa_n，知a_n= $\text{[math]}$ ．再由错位相减法可求出S_n= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ．然后根据S_n+λna_n≥ $\text{[math]}$ 对任意n∈N^*恒成立，可求出实数λ的最小值．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意错位相减法的灵活运用，认真审题，仔细解答．