题目内容
（本小题满分15分）
已知：在数列{an}中，a1＝ ，an+1＝ an＋．
（1）令bn＝4n an，求证：数列{bn}是等差数列；
（2）若Sn为数列{an}的前n项的和，Sn＋λnan≥ 对任意n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．
解：（1）
由an+1＝an＋，
得(4n+1) an+1＝4nan＋2． ………………………………………………………………1分
所以bn+1＝bn＋2，
即bn+1－bn＝2．…………………………………………………………………3分
故数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．………………………………4分
（2）因为数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，所以bn＝1＋2（n－1）＝2n－1．
因为bn＝4n an，所以 an＝． ……………………………………………………6分
则Sn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ．
又Sn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ．
所以Sn＝＋2（ ＋ ＋ ＋…＋ ）－
…………………………8分
＝＋2× －．
所以Sn＝ － × － × ． …………………………10分
因为Sn＋λnan≥对任意n∈N*恒成立，
所以 －× －×＋λ×≥对任意n∈N*恒成立．
即λ≥×＋对任意n∈N*恒成立．………………………………11分
因为n≥1，2n－1≥1，所以×≤，当且仅当n＝1时取等号．
又因为 ≤ ，当且仅当n＝1时取等号．
所以×＋≤ ，当且仅当n＝1时取等号．………………………14分
所以λ≥，所以λ的最小值为．…………………………………15分
练习册系列答案
相关题目
的单调区间；
，试分别解答以下两小题.
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围；
是两个不相等的正数，且
，求证：
．
、
分别为椭圆
：
的 
：
的焦点，
是
。
：
，过点P的动直线
与圆
，
（
且
）。求证：点Q总在某定直线上。
的左、右焦点分别为
、
，过
与椭圆相交于A、B两点。
，且
，求椭圆的离心率；
求
的最大值和最小值。
在定义域内存在区间
，满足
是否为“优美函数”？若是，求出
；若不是，说明理由；
为“优美函数”，求实数
的取值范围．