Question

已知：在数列{a_n}中，a₁=

1

4

，a_n+1=

1

4

a_n+

2

4n+1

．
（1）令b_n=4ⁿa_n，求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）若S_n为数列{a_n}的前n项的和，S_n+λna_n≥

5

9

对任意n∈N^*恒成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

分析：（1）由题设条件知4ⁿ⁺¹a_n+1=4ⁿa_n+2．所以b_n+1=b_n+2，所以数列{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由题设条件知b_n=1+2（n-1）=2n-1．再由b_n=4ⁿa_n，知a_n=

2n-1

4n

．再由错位相减法可求出S_n=

5

9

-

2

9

×

1

4n-1

-

2n-1

3

×

1

4n

．然后根据S_n+λna_n≥

5

9

对任意n∈N^*恒成立，可求出实数λ的最小值．

解答：解：（1）由a_n+1=

1

4

a_n+

2

4n+1

，
得4ⁿ⁺¹a_n+1=4ⁿa_n+2．
所以b_n+1=b_n+2，即b_n+1-b_n=2．
故数列{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）因为数列{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列，
所以b_n=1+2（n-1）=2n-1．
因为b_n=4ⁿa_n，
所以a_n=

2n-1

4n

．
则S_n=

1

4

+

3

42

+

5

43

+…+

2n-3

4n-1

+

2n-1

4n

．
又

1

4

S_n=

1

42

+

3

43

+

5

44

+…+

2n-3

4n

+

2n-1

4n+1

．
所以

3

4

S_n=

1

4

+2（

1

42

+

1

43

+

1

44

+…+

1

4n

）-

2n-1

4n+1

=

1

4

+2×

1 42 (1- 1 4n-1 )

1- 1 4

-

2n-1

4n+1

．
所以S_n=

5

9

-

2

9

×

1

4n-1

-

2n-1

3

×

1

4n

．
因为S_n+λna_n≥

5

9

对任意n∈N^*恒成立，
所以

5

9

-

2

9

×

1

4n-1

-

2n-1

3

×

1

4n

+λ×

n(2n-1)

4n

≥

5

9

对任意n∈N^*恒成立．
即λ≥

8

9

×

1

n(2n-1)

+

1

3n

对任意n∈N^*恒成立
因为n≥1，2n-1≥1，
所以

8

9

×

1

n(2n-1)

≤

8

9

，当且仅当n=1时取等号．
又因为

1

3n

≤

1

3

，当且仅当n=1时取等号．
所以

8

9

×

1

n(2n-1)

+

1

3n

≤

11

9

，当且仅当n=1时取等号
所以λ≥

11

9

，所以λ的最小值为

11

9

．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意错位相减法的灵活运用，认真审题，仔细解答．