Question

（2006•南汇区二模）已知函数h（x）=a^x，（a＞1），g（x）=

x-2

x+1

，f（x）=h（x）+g（x）
①写出f（x）的解析式及定义域；
②求证函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
③求证方程f（x）=0没有负数根．

Answer 1

分析：①根据已知中f（x）=h（x）+g（x），可得函数的解析式，进而根据使函数解析式有意义的原则，可求出函数的定义域；
②-1＜x₁＜x₂，做差判断f（x₁）与f（x₂）的大小，进而根据函数单调性的定义，可判断出函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
③假设x₀是方程f（x）=0的负数根，且x₀≠-1，则ax0+

x0-2

x0+1

=0，分当-1＜x₀＜0时和当x₀＜-1时，讨论其存在性，最后综合讨论结果，可得答案．

解答：解：①∵h（x）=a^x，（a＞1），g（x）=

x-2

x+1

，f（x）=h（x）+g（x）
∴f(x)=ax+

x-2

x+1

（a＞1），
定义域（-∞，-1）∪（-1，+∞）…（4分）
证明：②设-1＜x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=ax1+

x1-2

x1+1

-ax2-

x2-2

x2+1

=ax1-ax2+

x1-2

x1+1

-

x2-2

x2+1

=ax1-ax2+

3(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

，
∵-1＜x₁＜x₂，∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂＜0，
∴

3(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

＜0；
∵-1＜x₁＜x₂，且a＞1，∴ax1＜ax2，∴ax1-ax2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；…（8分）
③假设x₀是方程f（x）=0的负数根，且x₀≠-1，则ax0+

x0-2

x0+1

=0，
即ax0=

2-x0

x0+1

=

3-(x0+1)

x0+1

=

3

x0+1

-1，①
当-1＜x₀＜0时，0＜x₀+1＜1，∴

3

x0+1

＞3，∴

3

x0+1

-1＞2，
而由a＞1知ax0＜1，∴①式不成立；
当x₀＜-1时，x₀+1＜0，∴

3

x0+1

＜0，∴

3

x0+1

-1＜-1，
而ax0＞0，∴①式不成立．
综上所述，方程f（x）=0没有负数根．…（14分）

点评：本题考查的知识点是函数的解析式，函数的定义域，函数的单调性，函数的零点，是函数较为综合的应用，难度比较大，属于难题．