Question

已知函数是偶函数
（1）求k的值；
（2）若函数的图象与直线没有交点，求b的取值范围；
（3）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围

Answer 1

（1）；（2） ；(3)

解析试题分析：（1）因为函数是偶函数，所以根据偶函数的定义，得到一个关于x,k的等式.由于对于任意的x都成立，相当于恒过定点的问题，所以求得k的值.
（2）因为函数的图象与直线没有交点，所以对应的方程没有解，利用分离变量的思维可得到一个等式，该方程无解.所以等价两个函数与没有交点，所以求出函数的最值.即可得到b的取值范围.
(3)因为，若函数与的图象有且只有一个公共点，所以等价于方程有且只有一个实数根.通过换元将原方程化为含参的二次方程的形式，即等价于该二次方程仅有一个大于零的实根，通过讨论即可得到结论.
试题解析：（1）因为为偶函数，所以，
即对于任意恒成立.
于是恒成立,
而不恒为零，所以.                     4分
（2）由题意知方程即方程无解.
令，则函数的图象与直线无交点.
因为，由，则，
所以的取值范围是 .                     8分
（3）由题意知方程有且只有一个实数根．
令，则关于的方程 (记为(*))有且只有一个正根.
若，则，不合题意, 舍去；
若，则方程(*)的两根异号或有两相等正根.
由或；但，不合题意，舍去；而；
若方程(*)的两根异号
综上所述，实数的取值范围是．               12分
考点：1.函数的奇偶性.2.函数的与方程的思想的转化.3.换元法的应用.4.含参数的方程的根的讨论.