Question

已知幂函数f（x）的图象经过点(2，

1

4

)．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用幂函数的定义，设f（x）=x^α（α是常数），根据f（x）的图象过点(2，

1

4

)，列出关于α的方程，求解即可得到答案；
（Ⅱ）设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂）化简到能直接判断符号为止，利用函数单调性的定义，即可证得答案．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是幂函数，则设f（x）=x^α（α是常数），
∵f（x）的图象过点(2，

1

4

)，
∴f(2)=2α=

1

4

=2-2，
∴α=-23，
故f（x）=x^-2，即f(x)=

1

x2

(x≠0)；
（Ⅱ）f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．证明如下：
设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴f(x1)-f(x2)=

1

x12

-

1

x22

=

x22-x12

x12•x22

=

(x2+x1)•(x2-x1)

x12•x22

，
∵0＜x₁＜x₂∈（0，+∞），
∴x₂-x₁＞0，x2+x1＞0，x12•x22＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．

点评：本题考查了求函数的解析式，函数的单调性的证明．求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等．函数单调性的证明一般选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．属于基础题．