Question

如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形,PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动

（Ⅰ）求三棱锥E-PAD的体积;

（Ⅱ）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；

（Ⅲ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF

 

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）平行，（Ⅲ）详见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为已知PA⊥平面ABCD，所以求三棱锥E-PAD的体积，用等体积法

求体积时先找高线，即先观察面上的垂线，（Ⅱ）点为的中点，点F是PB的中点，EF为三角形的中位线，根据三角形的中位线可得线线平行，再由直线与平面平行的判定定理得出结论，（Ⅲ）无论点E在边BC的何处，暗示本题只需考虑直线AF与平面PBC的垂直关系即可 由等腰三角形底边上中线垂直于底边，即AF垂直于PB，因此只需考虑AF垂直平面PBC另一条直线 经观察，直线BC为目标，这是因为BC垂于AB,而PA又垂直BC。到此思路已出，只需逆推即可。

试题解析：【解析】
（Ⅰ）三棱锥E-PAD的体积 4分

（Ⅱ）当点为中点时，与平面平行

在中，分别为的中点，

又平面,而平面，

平面 4分

（Ⅲ）证明：平面平面

,又平面,

平面,又平面,

又，点为的中点，,

又,平面,平面

平面, 4分

考点：三棱锥体积，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定与性质