Question

过点P（2，1）的直线l与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B．
（1）求u=|OA|+|OB|的最小值，并写出取最小值时直线l的方程；
（2）求v=|PA|•|PB|的最小值，并写出取最小值时直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）设出直线方程的截距式，用含有一个字母的代数式表示出u，然后利用基本不等式求最小值；
（2）由两点间的距离公式求出|PA|，|PB|，代入v=|PA|•|PB|后取平方，然后利用基本不等式求最值．

解答：解：（1）设点A（a，0），B（0，b），则直线l：

x

a

+

y

b

=1(a，b＞0)
∵P（2，1）在直线l上，∴

2

a

+

1

b

=1，∴b=

a

a-2

，∵a，b＞0，∴a＞2．
u=|OA|+|OB|=a+b=a+

a

a-2

=a-2+

2

a-2

+3≥2

(a-2)• 2 a-2

+3=2

2

+3．
当且仅当a-2=

2

a-2

（a＞2），即a=2+

2

时等号成立．此时b=1+

2

．
∴umin=2

2

+3，此时l：

x

2+ 2

+

y

1+ 2

=1，即x+

2

y-2-

2

=0；
（2）由（1）知，v=|PA|•|PB|=

(a-2)2+1

•

(b-1)2+4

，
∵b-1=

a

a-2

-1=

2

a-2

，
∴v2=[(a-2)2+1]•[(

2

a-2

)2+4]=4(a-2)2+

4

(a-2)2

+8≥2

4(a-2)2• 4 (a-2)2

+8=16．
当且仅当(a-2)2=

1

(a-2)2

(a＞2)，即a=3时等号成立，此时b=3．
∴u_min=4，此时l：

x

3

+

y

3

=1，即x+y=3．

点评：本题考查了直线方程的应用，训练了利用基本不等式求最值，解答的关键在于利用基本不等式求最值的条件，是中档题．