题目内容

设f（x）=log $数学公式$ $数学公式$ （a为常数）的图象关于原点对称
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）在区间（1，+∞）的单调性并证明；
（3）若对于区间[3，4]上的每一个x的值，f（x）＞（ $数学公式$ ）^x+m恒成立，求实数m的取值范围．

解：（1）由题意可得，f（x）为奇函数，故有 f（-x）=-f（x），即 $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得a=±1． …
经检验，当a=1时不合条件，故a=-1．
（2）由（1）可得f（x）=log $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，函数在区间（1，+∞）内单调递增．
证明：令g（x）= $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$ ，由于 $\text{[math]}$ 在区间（1，+∞）内单调递减，
故函数g（x）在区间（1，+∞）内单调递减，故函数f（x）=log $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 在区间（1，+∞）内单调递增．
（3）令h（x）=f（x）- $\text{[math]}$ ，则由（2）得h（x）在[3，4]上单调递增，
故g（x）的最小值为g（3）=- $\text{[math]}$ ．
m＜- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由题意可得，f（x）为奇函数，故有 f（-x）=-f（x），即 $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，化简可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由此解得a的值．
（2）由（1）可得f（x）=log $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，令 g（x）= $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$ ，由于 $\text{[math]}$ 在区间（1，+∞）内单调递减，可得函数g（x）在区间（1，+∞）内
单调递减，从而得到函数f（x）=log $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 在区间（1，+∞）内单调递增．
（3）令h（x）=f（x）- $\text{[math]}$ ，则由（2）得h（x）在[3，4]上单调递增，故g（x）的最小值为g（3），运算求得结果．
点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性，汗水肚饿恒成立问题，求函数的值域，属于中档题．