Question

设f（x）=log 

1

2

 

1-bx

x-1

为奇函数，b为常数．
（1）求b的值；
（2）求f（2）+f（3）+…+f（9）+f（10）的值；
（3）若对于区间[3，4]上的每一个x的值，不等式f（x）＞（

1

2

）^x+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=log 

1

2

 

1-bx

x-1

为奇函数，知log

1

2

1+bx

-x-1

+log

1

2

1-bx

x-1

=log

1

2

1-b2x2

1-x2

=0，由此能求出b．
（2）由f（x）=log

1

2

x+1

x-1

，知f（2）+f（3）+…+f（9）+f（10）=log

1

2

3×4×…×9×10×11

1×2×3×…×9

，由此能求出结果．
（3）对于区间[3，4]上的每一个x的值，不等式f（x）＞（

1

2

）^x+m恒成立，等价于当x∈[3，4]时，f（x）-（

1

2

）^x=log

1

2

x-1

x+1

-（

1

2

）^x恒成立，设h（x）=log

1

2

x-1

x+1

-（

1

2

）^x=log2

x+1

x-1

-(

1

2

)x，推导出y=h（x）在[3，4]上单调递增，由此能求出实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=log 

1

2

 

1-bx

x-1

为奇函数，b为常数，
∴f（-x）+f（x）=0，
∴log

1

2

1+bx

-x-1

+log

1

2

1-bx

x-1

=log

1

2

1-b2x2

1-x2

=0，
∴

1-b2x2

1-x2

=1，解得b=±1．
∵b=1时，

1-bx

x-1

=-1，不成立，舍去，∴b=-1．
（2）∵b=-1，∴f（x）=log

1

2

x+1

x-1

，
∴f（2）+f（3）+…+f（9）+f（10）
=log

1

2

3

1

+log

1

2

4

2

+…+log

1

2

10

8

+log

1

2

11

9

=log

1

2

3×4×…×9×10×11

1×2×3×…×9

=log

1

2

10×11

1×2

=log

1

2

55．
（3）∵对于区间[3，4]上的每一个x的值，不等式f（x）＞（

1

2

）^x+m恒成立，
∴当x∈[3，4]时，f（x）-（

1

2

）^x=log

1

2

x-1

x+1

-（

1

2

）^x恒成立，
设h（x）=log

1

2

x-1

x+1

-（

1

2

）^x=log2

x+1

x-1

-(

1

2

)x，
∵y=log2

x-1

x+1

=log2(1-

2

x+1

)在[3，4]上单调递增，y=（

1

2

）^x在[3，4]上单调递减，
∴y=h（x）在[3，4]上单调递增，
∴只需m＜h（3）=log

1

2

3+1

3-1

-(

1

2

)3=-

9

8

，
∴m＜-

9

8

．
故实数m的取值范围是（-∞，-

9

8

）．

点评：本题考查满足条件的实数值的求法，考查对数值的计算，考查满足条件的实数的取值范围的求法，综合性强，难度大．解题时要注意函数的奇偶性、单调性和构造法的合理运用．