Question

13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，}&{0＜x≤3}\\{-\frac{2}{3}x+\frac{16}{3}，}&{x＞3}\end{array}\right.$，若函数g（x）=f（x）-m有三个互不相等的零点a、b、c，则abc的取值范围为（　　）

• A． （2，$\frac{10}{3}$）
• B． （0，5）
• C． （6，10）
• D． （3，5）

Answer 1

分析 先画出分段函数的图象，根据图象确定字母a、b、c的取值范围，最后数形结合写出其取值范围即可

解答 解：由g（x）=f（x）-m=0得m=f（x），
若函数g（x）=f（x）-m有三个互不相等的零点a、b、c，
即等价为函数y=f（x）与y=m有三个互不相同的交点，
作出函数f（x）的图象如图：
当x＞3时，f（x）=$-\frac{2}{3}x+\frac{16}{3}$≤$-\frac{2}{3}×3+\frac{16}{3}$=$\frac{10}{3}$，
∵函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$在（0，1]上递减，在[1，3]上递增，
∴2≤f（x）≤$\frac{10}{3}$，
∴若函数y=f（x）与y=m有三个互不相同的交点，
则2＜m＜$\frac{10}{3}$，
设a＜b＜c，
由f（x）=x+$\frac{1}{x}$=$\frac{10}{3}$，
解得x=$\frac{1}{3}$或x=3，
由f（x）=$-\frac{2}{3}x+\frac{16}{3}$=2，解得x=5，
则$\frac{1}{3}$＜a＜1，1＜b＜3，3＜c＜5，
当0＜x≤3时，由g（x）=f（x）-m=x+$\frac{1}{x}$-m=$\frac{{x}^{2}-mx+1}{x}$=0得x²-mx+1=0，
则ab=1，
故abc=c，
即abc的范围就是c的范围是（3，5），
故选：D

点评 本题考查了分段函数图象的画法及其应用，对数函数及一次函数图象的画法，数形结合求参数的取值范围，画出分段函数图象并数形结合解决问题是解决本题的关键．