Question

18．三棱锥P-ABC中，已知∠APC=∠BPC=∠APB=$\frac{π}{3}$，点M是△ABC的重心，且$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PB}$$•\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PC}$$•\overrightarrow{PA}$=9，则|$\overrightarrow{PM}$|的最小值为（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{6}$
• C． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{b}，\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{c}$，根据条件以及数量积公式，即可得到$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$+$|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|$+$|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{a}|$=18，连接CM，延长之后交AB的中点D，连接PD，根据向量加法的几何意义及重心的性质便可得到$\overrightarrow{PM}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）$，只要求出$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|$的最小值即可．

解答 解：设$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{b}，\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{c}$，根据条件以及数量积公式，即可得到$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$+$|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|$+$|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{a}|$=18，连接CM，延长之后交AB的中点D，连接PD，D为AB中点，所以$\overrightarrow{PM}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）$，
所以|$\overrightarrow{PM}|=\frac{1}{3}|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|$，

∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}{|}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+2\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}+18$，
因为${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}≥2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$，${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}≥2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|$，${\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}≥2|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|$，
相加得到${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}≥|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|+|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|$=18，
所以${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}≥18$，
所以$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}{|}^{2}≥36$，
所以$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|≥6$；
∴$|\overrightarrow{PM}|≥$2；
故选D．

点评 本题考查向量数量积的计算公式，向量加法、数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，重心的性质：重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍，以及基本不等式的应用