Question

已知椭圆C的方程为（a＞b＞0），称圆心在坐标原点O，半径为的圆为椭圆C的“伴随圆”，椭圆C的短轴长为2，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点，与其“伴随圆”交于C，D两点，当|CD|= 时，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意得，，由b=1，知a²=3，由此能求出椭圆C的方程和“伴随圆”的方程．
（Ⅱ）当CD⊥x轴时，由|CD|=，得|AB|=．当CD与x轴不垂直时，由|CD|=，得圆心O到CD的距离为．设直线CD的方程为y=kx+m，则由，得，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0．故，，由此能求出△AOB的面积取最大值．
解答：解：（Ⅰ）由题意得，，
又∵b=1，∴a²=3，∴椭圆C的方程为，（3分）
∵=，
∴“伴随圆”的方程为x²+y²=4．（4分）
（Ⅱ）①当CD⊥x轴时，由|CD|=，得|AB|=．
②当CD与x轴不垂直时，由|CD|=，得圆心O到CD的距离为．
设直线CD的方程为y=kx+m，则由，得，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0．
∴，．（6分）
当k≠0时，
=
=（1+k²）[-]
=
=3+
=3+
=4．
当且仅当9k²=，即k=时等号成立，此时|AB|=2．
当k=0时，|AB|=，综上所述：|AB|_max=2，
此时△AOB的面积取最大值S=|AB|_max×=．（10分）
点评：本题考查椭圆和“伴随圆”的方程，考查三角形面积最大值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．