Question

已知椭圆C的方程为

x2

a2

+ 

y2

b2

=1（a＞b＞0），称圆心在坐标原点O，半径为

a2+b2

的圆为椭圆C的“伴随圆”，椭圆C的短轴长为2，离心率为

6

3

．
（Ⅰ）求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点，与其“伴随圆”交于C，D两点，当|CD|=

13

 时，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意得，e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

=

2

3

，由b=1，知a²=3，由此能求出椭圆C的方程和“伴随圆”的方程．
（Ⅱ）当CD⊥x轴时，由|CD|=

13

，得|AB|=

3

．当CD与x轴不垂直时，由|CD|=

13

，得圆心O到CD的距离为

3

2

．设直线CD的方程为y=kx+m，则由

|m|

1+k2

=

3

2

，得m2=

3

4

(k2+1)，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx+m x2 3 +y2=1

，得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0．故x1+x2=

-6km

3k2+1

，x1x2=

3m2-3

3k2+1

，由此能求出△AOB的面积取最大值．

解答：解：（Ⅰ）由题意得，e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

=

2

3

，
又∵b=1，∴a²=3，∴椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1，（3分）
∵

a2+b2

=

3+1

=2，
∴“伴随圆”的方程为x²+y²=4．（4分）
（Ⅱ）①当CD⊥x轴时，由|CD|=

13

，得|AB|=

3

．
②当CD与x轴不垂直时，由|CD|=

13

，得圆心O到CD的距离为

3

2

．
设直线CD的方程为y=kx+m，则由

|m|

1+k2

=

3

2

，得m2=

3

4

(k2+1)，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx+m x2 3 +y2=1

，得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0．
∴x1+x2=

-6km

3k2+1

，x1x2=

3m2-3

3k2+1

．（6分）
当k≠0时，|AB|2=(1+k2)(x1-x2)2
=(1+k2)[(

-6km

3k2+1

)2-

12(m2-1)

3k2+1

]
=（1+k²）[

36k2m2

(3k2+1) 2

-

12(m2-1)

3k2+1

]
=

3(1+k2)(9k2+1)

(3k2+1)2

=3+

12k2

9k4+6k2+1

=3+

12

9k2+ 1 k2 +6

≤3+

12

2×3+6

=4．
当且仅当9k²=

1

k2

，即k=±

3

3

时等号成立，此时|AB|=2．
当k=0时，|AB|=

3

，综上所述：|AB|_max=2，
此时△AOB的面积取最大值S=

1

2

|AB|_max×

3

2

=

3

2

．（10分）

点评：本题考查椭圆和“伴随圆”的方程，考查三角形面积最大值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．