Question

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，cosB=

4

5

．
（1）若cosA=-

5

13

，求cosC的值；  
（2）若AC=

10

，BC=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）利用平方关系，诱导公式及和角的余弦公式，可求cosC的值；  
（2）由余弦定理求AB，再利用三角形的面积公式，可得结论．

解答：解：（1）∵cosB=

4

5

，cosA=-

5

13

，
∴sinB=

1-cos2B

=

3

5

，sinA=

1-cos2A

=

12

13

，…（2分）
∴cosC=cos（180°-A-B）=-cos（A+B）                  …（3分）
=sinA．sinB-cosA•cosB                            …（4分）
=

12

13

×

3

5

-（-

5

13

）×

4

5

=

56

65

                              …（6分）
（2）由AC²=AB²+BC²-2AB×BC×cosB得10=AB²+25-8AB   …（7分）
解得AB=5或AB=3，…（9分）
若AB=5，则S_△ABC=

1

2

AB×BC×sinB=

1

2

×5×5×

3

5

=

15

2

        …（10分）
若AB=3，则S_△ABC=

1

2

AB×BC×sinB=

1

2

×5×3×

3

5

=

9

2

         …（11分）
综合得△ABC的面积为

15

2

或

9

2

                         …（12分）

点评：本题考查平方关系，诱导公式及和角的余弦公式，考查余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题．