Question

已知f(x)=-,点P_n在曲线y=f(x)上且a₁=1,a_n>0(n∈N^*).

(1)求证:数列为等差数列,并求数列{a_n}的通项公式.

(2)设数列{·}的前n项和为S_n,若对于任意的n∈N^*,存在正整数t,使得S_n<t²-t-恒成立,求最小正整数t的值.

Answer 1

 (1)因为-=-,

所以-=4,

所以是以1为首项,4为公差的等差数列.

所以=4n-3,因为a_n>0,所以a_n=.

(2)设b_n=·=

=.

所以S_n=b₁+b₂+…+b_n

=

=<,

对于任意的n∈N^*使得S_n<t²-t-恒成立,

所以只要≤t²-t-,

所以t≥或t≤-,所以存在最小的正整数t=2符合题意.