Question

已知f(x)=

2

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x3-2ax2+3x（a∈R）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若y=f（x）在（-1，1）内有且只有一个极值点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）已知f(x)=

2

3

x3-2ax2+3x对其进行求导，然后求极值，但是否有极值还得讨论，然后利用导数判断单调区间；
（2）根据y=f（x）在（-1，1）内有且只有一个极值点，可以或得信息△＞0，转化为f′（x）在（-1，1）内有且只有一个零点，从而求解；

解答：解：（1）∵f(x)=

2

3

x3-2ax2+3x（a∈R）．
∴f′（x）=2x²-4ax+3，△=（-4a）²-4×2×3；
①当△＞0时，即|a|＞

6

2

时，方程2x²-4ax+3=0有两个根，
分别为x₁=a-

4a2-6

2

，x₂=a+

4a2-6

2

，
故f（x）在（-∞，x₁）和（x₂，+∞）单调递增，
在（x₁，x₂）上单调递减；
②当△≤0时，f（x）单调递增；
（2）由y=f（x）在（-1，1）上只有一个极值点，知△＞0，即|a|＞

6

2

；
且要满足f′（1）•f′（-1）＜0，解得|a|＞

5

4

，
综合得|a|＞

5

4

也即a＞

5

4

或者a＜-

5

4

．

点评：利用导数研究函数的单调区间，是我们常用的方法，此题解题过程中用到了分类讨论的思想，是一道中档题；