Question

如图，在三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，已知BB₁=2，AB=

   （I）求证：C₁B⊥平面ABC；

   （II）试在棱CC₁（不包含端点C，C₁）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁；

   （III）在（II）的条件下，求二面角A―EB₁―A₁的平面角的正切值。

Answer 1

解：（I）因为AB⊥侧面BB₁C₁C，故AB⊥BC₁

在△BC₁C中，BC=1，CC₁=BB₁=2，由余弦定理有

故有BC²+BC²₁=CC²₁    ∴C₁B⊥BC              

而BC∩AB=B且AB，BC平面ABC

∴C₁B⊥平面ABC                                                                          

   （II）由EA⊥EB₁，AB⊥EB₁，AB∩AE=A，AB，AE平面ABE

从而B₁E⊥平面ABF  且BE平面ABE  故BE⊥B₁E                    

不妨设

从而（舍）                               

故E为CC₁的中点时，EA⊥EB₁                                                     

   （III）取EB₁的中点D，A₁E的中点F，BB₁的中点N，AB₁的中点M

连DF则DF//A₁B₁，连DN则DN//BE，连MN则MN//A₁B₁

连MF则MF//BE，且MNDF为矩形，MD//AE

又∵A₁B₁⊥EB₁，BE⊥EB₁  故∠MDF为所求二面角的平面角         

在（∵△BCE为正三角形）