Question

在正三棱锥P-ABC中，底面正△ABC的中心为O，D是PA的中点，PO=AB=2，求PB与平面BDC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：由题意，由于图形中已经出现了垂直于底面的高线，所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．
解答：解：以O为坐标原点，OA为x轴，OP为z轴建立空间直角坐标系．因△ABC是正三角形，故y轴平行于BC，而PO=AB=2，则
P（0，0，2），A（，0，0），
B（-，1，0），C（-，-1，0），
D是PA的中点，故D（，0，1）
=（0，-2，0），=（，-1，1）（2分）
设=（x，y，z）是平面BDC的一个法向量，•=0且•=0，
即：，化简得：（5分）
取x=，则y=0，z=-2，
平面BDC的一个法向量是=（，0，-2），=（-，1，-2）
cos＜，＞==（9分）
由于和所成的角与PB与平面BDC所成角互余，所以PB与平面BDC所成角的正弦值为．（10分）
点评：本题主要考查了直线与平面之间所成角，考查空间想象能力，本题考点是立体几何中求线面角，这是立体几何中常考的一个题型，属于基础题．