题目内容
对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义f″（x）是y=f（x）的导函数y=f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有的同学发现“任何三次函数都有‘拐点’；任何三次函数都有对称中心；且对称中心就是‘拐点’”．请你根据这一发现判断下列命题：
（1）任意三次函数都关于点(-
，f(-
))对称；
（2）存在三次函数，f'（x）=0有实数解x0，（x0，f（x0））点为函数y=f（x）的对称中心；
（3）存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；
（4）若函数g(x)=
x3-
x2-
，则g(
)+g(
)+g(
)+…+g(
)=-1006
其中正确命题的序号为（ ）
（1）任意三次函数都关于点(-
| b |
| 3a |
| b |
| 3a |
（2）存在三次函数，f'（x）=0有实数解x0，（x0，f（x0））点为函数y=f（x）的对称中心；
（3）存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；
（4）若函数g(x)=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 12 |
| 1 |
| 2013 |
| 2 |
| 2013 |
| 3 |
| 2013 |
| 2012 |
| 2013 |
其中正确命题的序号为（ ）
分析：（1）利用新定义，可知（1）正确；
（2）由（1）知，x0=-
，代入f'（x）=0，可得b2=3ac，由此可得结论；
（3）由（1）知，三次函数有且只有一个对称中心；
（4）求出对称中心，即可得到结论．
（2）由（1）知，x0=-
| b |
| 3a |
（3）由（1）知，三次函数有且只有一个对称中心；
（4）求出对称中心，即可得到结论．
解答：解：（1）由题意，f′（x）=3ax2+2bx+c（a≠0），∴f″（x）=6ax+2b（a≠0），
∴令f″（x）=0，可得x=-
，∴任意三次函数都关于点(-
，f(-
))对称，故（1）正确；
（2）由（1）知，x0=-
，代入f'（x）=0，可得3a×
-2b×
+c=0，∴b2=3ac，此时，存在三次函数，f'（x）=0有实数解x0，（x0，f（x0））点为函数y=f（x）的对称中心，故（2）正确；
（3）由（1）知，三次函数有且只有一个对称中心，即不存在三次函数有两个及两个以上的对称中心，故（3）不正确；
（4）∵g(x)=
x3-
x2-
，∴g′（x）=x2-x
∴g″（x）=2x-1
令g″（x）=0，可得x=
，∴g（1）=-
∴g(x)=
x3-
x2-
的对称中心为(
，-
)
∴g（x）+g（1-x）=-1
∴g(
)+g(
)+g(
)+…+g(
)=-1006，即（4）正确，
故选A．
∴令f″（x）=0，可得x=-
| b |
| 3a |
| b |
| 3a |
| b |
| 3a |
（2）由（1）知，x0=-
| b |
| 3a |
| b2 |
| 9a2 |
| b |
| 3a |
（3）由（1）知，三次函数有且只有一个对称中心，即不存在三次函数有两个及两个以上的对称中心，故（3）不正确；
（4）∵g(x)=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 12 |
∴g″（x）=2x-1
令g″（x）=0，可得x=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴g(x)=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 12 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴g（x）+g（1-x）=-1
∴g(
| 1 |
| 2013 |
| 2 |
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| 2013 |
| 2012 |
| 2013 |
故选A．
点评：本小题考查新定义，考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查计算能力，属于中档题．
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