Question

【题目】已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）设，当时，判断是否存在使得，并证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）不存在；见解析

【解析】

（1）先对函数求导，得到，分别讨论，两种情况，分别求解对应的不等式，即可得出结果；

（2）先由（1）得，，推出，由时，，得到，分别讨论，两种情况，通过导数的方法研究函数的最值等，即可得出结果.

（1）的定义域为，

由，得.

①若，则当时，，

此时的单调递增区间为，无单调递减区间；

②若，令，解得.

当时，；当时，.

此时，的单调递增区间为；单调递减区间为.

（2）当时，不存在，使得，证明如下：

由（1）知，当时，在单调递增，在单调递减，

所以，故，即.

因为，所以当时，，故.

①当时，再由

令，则.

令，得.

当时，；当，.

所以，故，

所以当时，对，都有.

②当时，对于，，故.

综合①，②，当时，对于任意的，都有.

所以，当时，不存在，使得.